..

The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for intelligent thought.

— in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, by Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik (1989)

English texts

Infinite sets (2025/2026)

This started as lectures notes from the course Infinite sets at MFF UK, but have since been expanded significantly and now cover much more than the original course material. Work in progress.

Contents
  • ordinal numbers, proof of that each well-ordered set has a unique ordinal type
  • proof of the transfinite recursion principle
  • proof of the equivalence of Axiom of Choice with the Well-Ordering Principle, Zorn's Lemma, and the Trichotomy Principle
  • ordinal functions, proof of the Fixed Point Theorem for normal functions
  • ordinal arithmetic, proof of existence and uniqueness of Cantor normal form
  • epsilon numbers $\varepsilon_\alpha$, the Veblen hierarchy $\varphi_\beta(\alpha)$, Hartogs' theorem
  • Peano Arithmetic, Gödel's Incompleteness Theorems, Gentzen's Consistency theorem (without proof)
  • Limits of predicative mathematics and the Feferman–Schütte ordinal $\Gamma_0$
  • proof of Goodstein's theorem, and the Kirby–Paris Hydra game
  • fundamental sequences, the fast-growing hierarchy, the Hardy hierarchy
  • cardinal numbers, alephs $\aleph_\alpha$, cofinality, inaccessible cardinals
  • cardinal arithmetic, proof of König's inequality, the Continuum Hypothesis
  • cumulative hierarchy of sets $V_\alpha$, Scott's trick, Beth numbers $\beth_\alpha$
  • constructible universe $L_\alpha$, axiom of constructibility
  • history of the axiom of infinity, large cardinal axioms, proof that if $\kappa$ is inaccessible, then $V_\kappa\models \mathsf{ZFC}$
  • filters and ultrafilters, proof of The Ultrafilter Lemma
  • stationary sets, TODO: work in progress
  • infinite trees, proof of Kőnig's Lemma
  • proof of Rado's Selection Principle, infinite version of Hall's theorem, the De Bruijn–Erdős theorem
  • compactness principle and its applications in Ramsey Theory
  • chromatic number of infinite graphs, proof that there is a graph that has chromatic number either $2$ or uncountable based on the choice of axioms
  • partition relations of cardinals, proof that $\kappa\not\rightarrow(\omega)_2^{\omega}$ for every $\kappa$, Ramsey sets, the Galvin–Prikry theorem
  • proof of Ramsey's theorem, proof of some bounds on Ramsey numbers
  • proof of the "unprovable" Paris–Harington version of Ramsey's theorem
  • proof of Sierpinski's theorem, the Erdős–Rado theorem, the Erdős–Dushnik–Miller theorem
  • weakly compact cardinals, ineffable cardinals, Erdős and Ramsey cardinals
  • proof of the Banach–Tarski paradox

Stirling’s formula (2023)

Czech texts

Úvod do diskrétní analýzy (2024)

Všichni známe klasickou spojitou analýzu zabývající se derivacemi a integrály. Diskrétní analýza se zabývá diferencemi a sumami a umožňuje nám hledat součty řad podobně jako určité integrály.

Contents
  • diference, neurčitá a určitá suma
  • věta o vztahu určité sumy a součtu řady
  • věta o vztahu určitého integrálu a plochy pod křivkou
  • Gregory–Newtonova formule spolu s důkazem
  • rychlý algoritmus pro výpočet součtu mocninné řady
  • přes 20 řešených příkladů na hledání součtů řad

Úvod do teorie množin (2024)

Mé poznámky z předmětu Teorie množin na MFF UK.

Contents
  • vysvětlení problémů Cantorovy naivní teorie množin
  • axiomy Zermelo–Fraenkelovy teorie množin
  • konstrukce reálných čísel pomocí Dedekindových řezů
  • důkaz Cantor–Bernsteinovy věty
  • důkaz, že zlomků je stejně jako přirozených čísel
  • důkaz, že každá dvě lineární uspořádání na konečné množině jsou izomorfní
  • důkaz, že množina všech přirozených čísel $\omega$ je dobře uspořádaná relací $\in$
  • vlastnosti spočetných množin, důkaz Cantorovy věty o kardinalitě
  • důkaz, že $^\omega 2\approx \mathcal{P}(\omega)\approx\mathbf{R}\approx[0,\,1]$
  • Cantorův důkaz, že algebraických čísel je spočetně mnoho
  • axiom výběru a jeho ekvivalence: princip maximality, princip trichotomie, princip dobrého uspořádání, důkaz některých implikací
  • ordinální čísla, důkaz, že třída $\text{On}$ je dobře uspořádaná relací $\in$
  • princip transfinitní indukce, konstrukce transfinitní rekurzí
  • důkaz, že $\mathbf{R}^3$ je sjednocením disjunktních jednotkových kružnic

Stirlingův vzorec (2023)

Neformální úvod do formální matematiky (2023)

Nedokončené povídání o teorii množin, důkazových technikách a logice.

Contents
  • úvod do výrokové a predikátové logiky
  • důkazové techniky
  • důkaz základní věty aritmetiky silnou indukcí
  • Cantorova naivní teorie množin a Russelův paradox
  • axiomy Zermelo–Fraenkelovy teorie množin
  • důkaz toho, že reálných čísel je více než přirozených
  • Cantorova věta o kardinalitě potenční množiny

Pascalův trojúhelník (2022)

Riemannova Hypotéza (2022)

Contents
  • gamma funkce a její vlastnosti spolu s důkazy
  • důkaz Stirlingova vzorce pomocí gamma funkce, ovšem bez odhadu chyby výpočtu
  • Dirichletova eta-funkce
  • Riemannova zeta-funkce
  • co říká Riemannova hypotéza a proč by to mohla být pravda
  • souvislost Riemannovy hypotézy s prvočísly

Metody řešení neurčitých integrálů (2021/2022)

Moje seminární práce z matematiky na gymnáziu. Ne všechno je tam dokázané a není to tak formální, jak analýza většinou bývá. Zato tato práce obsahuje spoustu řešených příkladů a pokrývá opravdu širokou škálu různých integračních metod.

Contents
  • hyperbolické funkce a Osbornovo pravidlo
  • metoda per partes a DI metoda
  • substituční metoda a typické substituce za mocninné a goniometrické funkce
  • trigonometrické a hyperbolické substituce
  • rozklad na parciální zlomky a metody integrace racionálních funkcí
  • Weierstrassova substituce
  • Eulerova substituce
  • celkem více než 100 řešených příkladů