..

English texts

Stirling’s formula (2023)

This paper was published on arXiv.

• proof of Stirlin’s formula using only limits and Taylor series

Czech texts

Úvod do diskrétní analýzy (2024)

Všichni známe klasickou spojitou analýzu zabývající se derivacemi a integrály. Diskrétní analýza se zabývá diferencemi a sumami a umožňuje nám hledat součty řad podobně jako určité integrály.

• diference, neurčitá a určitá suma
• věta o vztahu určité sumy a součtu řady
• věta o vztahu určitého integrálu a plochy pod křivkou
• Gregory-Newtonova formule spolu s důkazem
• rychlý algoritmus pro výpočet součtu mocninné řady
• přes 20 řešených příkladů na hledání součtů řad

Úvod do teorie množin (2024)

Mé poznámky z předmětu Teorie množin na MFF UK. Obsahují:

• vysvětlení problémů Cantorovy naivní teorie množin
• axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin
• zavedení pojmů třída, kartézský součin, relace, zobrazení, uspořádání…
• konstrukce reálných čísel pomocí Dedekindových řezů
• důkaz Cantor-Bernsteinovy věty
• důkaz, že zlomků je stejně jako přirozených čísel
• definice konečnosti, princip indukce pro konečné množiny
• důkaz, že každá dvě lineární uspořádání na konečné množině jsou izomorfní
• definice množiny všech přirozených čísel $\omega$, důkaz, že je dobře uspořádaná relací $\in$
• vlastnosti spočetných množin, důkaz Cantorovy věty o kardinalitě
• důkaz $^\omega 2\approx \mathcal{P}(\omega)\approx\mathbf{R}\approx[0,\,1]$
• důkaz, že algebraických čísel je spočetně mnoho
• axiom výběru a jeho ekvivalence: princip maximality, princip trichotomie, princip dobrého uspořádání
• tranzitivní třídy, ordinální čísla, důkaz, že jsou dobře uspořádaná relací $\in$
• ordinální čísla jako typy dobře uspořádaných množin
• princip transfinitní indukce, konstrukce transfinitní rekurzí
• důkaz, že $\mathbf{R}^3$ je sjednocením disjunktních jednotkových kružnic pomocí transfinitní rekurze

Pascalův trojúhelník (2022)

• zobecněná kombinační čísla a jejich vlastnosti
• důkaz zobecněné binomické věty
• nejzajímavější vlastnosti Pascalova trojúhelníku

Stirlingův vzorec (2023)

• důkaz Wallisova produktu
• asymptotický odhad prostředního kombinačního čísla
• důkaz Stirlingova vzorce pouze pomocí limit a Taylorovy řady

Metody řešení neurčitých integrálů (2021/2022)

Tenhle počin jsem psal jako svoji seminární práci z matematiky v posledním ročníku gymnázia. Ne všechno je tam dokázané a není to tak formální, jak analýza většinou bývá. Zato tato práce obsahuje spoustu řešených příkladů a pokrývá opravdu širokou škálu různých integračních metod.

• hyperbolické funkce a Osbornovo pravidlo
• metoda per partes a DI metoda
• substituční metoda a typické substituce za mocninné a goniometrické funkce
• trigonometrické a hyperbolické substituce
• rozklad na parciální zlomky a metody integrace racionálních funkcí
• Weierstrassova substituce
• Eulerova substituce
• celkem více než 100 řešených příkladů

Neformální úvod do formální matematiky (2023)

Nedokončené povídání o teorii množin, důkazových technikách a logice.

• úvod do výrokové a predikátové logiky
• důkazové techniky
• důkaz základní věty aritmetiky silnou indukcí
• Cantorova naivní teorie množin a Russelův paradox
• axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin
• důkaz toho, že reálných čísel je více než přirozených
• Cantorova věta o kardinalitě potenční množiny

Riemannova Hypotéza (2022)

• gamma funkce a její vlastnosti spolu s důkazy
• důkaz Stirlingova vzorce pomocí gamma funkce, ovšem bez odhadu chyby výpočtu
• Dirichletova eta-funkce
• Riemannova zeta-funkce
• co říká Riemannova hypotéza a proč by to mohla být pravda
• souvislost Riemannovy hypotézy s prvočísly